Mouvement et interactions : Relier les actions appliquées à un système à son mouvement

1. La deuxième loi de Newton

Pour étudier le mouvement d'un système, il est indispensable de faire le bilan des forces extérieures qui s'exercent sur lui. La deuxième loi de Newton permet de lier ces forces à l'accélération du système.

Référentiel galiléen

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. En pratique, pour des expériences courtes à la surface de la Terre, le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.

Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique)

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système de masse \( m \) constante est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre de masse :

\( \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \)

Avec :

• \( \sum \vec{F}_{\text{ext}} \) : somme des forces extérieures en newtons (N)
• \( m \) : masse du système en kilogrammes (kg)
• \( \vec{a} \) : vecteur accélération en \( m \cdot s^{-2} \)

Méthode de résolution en mécanique :

1. Définir le système étudié et sa masse \( m \).
2. Choisir un référentiel d'étude (supposé galiléen) et un repère d'espace.
3. Faire le bilan des forces extérieures appliquées au système.
4. Appliquer la deuxième loi de Newton.
5. Projeter la relation vectorielle sur les axes du repère pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération.

Application de la deuxième loi de Newton

Une voiture de masse \( m = 1200 \text{ kg} \) démarre sur une route horizontale. On modélise l'ensemble des forces motrices par une force constante \( \vec{F} \) horizontale de valeur \( F = 3600 \text{ N} \) et on néglige les forces de frottement.

Déterminer la valeur de l'accélération \( a \) de la voiture.

Corrigé

1. Système : {voiture} de masse \( m = 1200 \text{ kg} \).
2. Référentiel : terrestre supposé galiléen, muni d'un axe horizontal (Ox) dans le sens du mouvement.

3. Bilan des forces :

   • Le poids \( \vec{P} \) (vertical vers le bas)
   • La réaction normale du support \( \vec{R}_N \) (verticale vers le haut)
   • La force motrice \( \vec{F} \) (horizontale vers l'avant)

4. Deuxième loi de Newton :
   \( \vec{P} + \vec{R}_N + \vec{F} = m \cdot \vec{a} \)

5. Projection sur l'axe (Ox) :
   Le poids et la réaction normale sont perpendiculaires au mouvement, leur projection sur (Ox) est nulle.
   \( 0 + 0 + F = m \cdot a_x \)
   D'où \( a_x = \frac{F}{m} = \frac{3600}{1200} = 3,0 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \). L'accélération vaut \( 3,0 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \).

2. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

Un champ de pesanteur est dit uniforme dans une région de l'espace si le vecteur champ de pesanteur \( \vec{g} \) y garde la même direction, le même sens et la même valeur en tout point.

Chute libre

Un système est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son propre poids \( \vec{P} \). On néglige alors les frottements de l'air et la poussée d'Archimède.

Appliquons la deuxième loi de Newton à un projectile en chute libre :

\( \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{P} = m \cdot \vec{g} \)
\( m \cdot \vec{a} = m \cdot \vec{g} \)

En simplifiant par la masse \( m \) (qui est non nulle), on obtient :
\( \vec{a} = \vec{g} \)

Propriété fondamentale : L'accélération d'un corps en chute libre dans un champ de pesanteur est indépendante de sa masse.

Vecteur accélération en chute libre

Un boulet de canon de masse \( m = 5,0 \text{ kg} \) est tiré avec une vitesse initiale \( v_0 \). Il est en chute libre dans le champ de pesanteur \( \vec{g} \) (vertical vers le bas, \( g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \)).

Donner les coordonnées du vecteur accélération dans un repère cartésien \( (O, x, y) \) où (Oy) est vertical orienté vers le haut.

Corrigé

Le boulet est en chute libre, donc d'après la deuxième loi de Newton : \( \vec{a} = \vec{g} \). Le vecteur \( \vec{g} \) est vertical et dirigé vers le bas. L'axe (Oy) étant orienté vers le haut, la projection de \( \vec{g} \) sur (Oy) est \( -g \). La projection sur l'axe horizontal (Ox) est nulle. On a donc : \( a_x = 0 \) \( a_y = -g = -9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \)

3. Mouvement dans un champ électrique uniforme

Un champ électrique \( \vec{E} \) est uniforme si ses caractéristiques (direction, sens, norme) sont identiques en tout point de l'espace étudié. On l'obtient généralement entre les deux armatures planes et parallèles d'un condensateur.

Force électrique

Une particule de charge électrique \( q \) placée dans un champ électrique \( \vec{E} \) subit une force électrique \( \vec{F}_e \) telle que :
\( \vec{F}_e = q \cdot \vec{E} \)

• Si \( q > 0 \), la force \( \vec{F}_e \) et le champ \( \vec{E} \) sont de même sens.
• Si \( q < 0 \), la force \( \vec{F}_e \) et le champ \( \vec{E} \) sont de sens opposés.

Pour une particule élémentaire (électron, proton, ion) se déplaçant dans un champ électrique, le poids est souvent négligeable devant la force électrique (\( P \ll F_e \)).

Appliquons la deuxième loi de Newton en négligeant le poids :

\( \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{F}_e = q \cdot \vec{E} \)
\( m \cdot \vec{a} = q \cdot \vec{E} \)

D'où l'expression de l'accélération :
\( \vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E} \)

Accélération d'un électron

Un électron de charge \( q = -e \) et de masse \( m_e \) pénètre dans un champ électrique uniforme \( \vec{E} \) vertical orienté vers le bas. On néglige son poids.

Déterminer la direction et le sens de son vecteur accélération \( \vec{a} \).

Corrigé

D'après la deuxième loi de Newton, l'accélération de l'électron est \( \vec{a} = \frac{-e}{m_e} \vec{E} \).
Puisque la charge de l'électron est négative (\( -e < 0 \)), le vecteur accélération \( \vec{a} \) est de sens opposé au vecteur champ électrique \( \vec{E} \).
Le champ \( \vec{E} \) étant vertical vers le bas, l'accélération \( \vec{a} \) sera verticale et orientée vers le haut.

Exercices d'application

Exercice 1 : Établir les équations horaires lors d'un tir

Un joueur de tennis frappe une balle de masse \( m = 58 \text{ g} \). La balle quitte la raquette en un point \( O \) (pris comme origine du repère) à l'instant \( t=0 \) avec une vitesse initiale \( \vec{v}_0 \) faisant un angle \( \alpha \) avec l'horizontale.
On néglige les frottements de l'air.
Le repère \( (O, x, y) \) est tel que (Ox) est horizontal et (Oy) vertical ascendant.

1. Établir les coordonnées du vecteur accélération.
2. En déduire les équations horaires de la vitesse \( v_x(t) \) et \( v_y(t) \).

Corrigé

1. Accélération : Le système {balle} est soumis uniquement à son poids \( \vec{P} \) (chute libre).
   Deuxième loi de Newton : \( m \cdot \vec{a} = m \cdot \vec{g} \implies \vec{a} = \vec{g} \).
   En projetant dans le repère \( (O, x, y) \) :
   \( a_x(t) = 0 \)
   \( a_y(t) = -g \)

2. Vitesse : La vitesse est la primitive de l'accélération :
   \( v_x(t) = C_1 \)
   \( v_y(t) = -g \cdot t + C_2 \)
   À \( t=0 \), les coordonnées de \( \vec{v}_0 \) sont \( v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha) \) et \( v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha) \).
   On identifie les constantes :
   \( v_x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \)
   \( v_y(t) = -g \cdot t + v_0 \cdot \sin(\alpha) \)

Exercice 2 : Déflexion d'un faisceau d'ions

Des ions \( He^{2+} \) (masse \( m \), charge \( q = +2e \)) pénètrent avec une vitesse initiale \( \vec{v}_0 \) horizontale (selon l'axe Ox) entre deux plaques planes où règne un champ électrique uniforme \( \vec{E} \) vertical et dirigé vers le bas (selon l'axe Oy orienté vers le bas). On néglige le poids des ions.

Déterminer les équations horaires de position \( x(t) \) et \( y(t) \) si l'origine O est le point d'entrée des ions à \( t=0 \).

Corrigé

1. Accélération :
   Système : {ion \( He^{2+} \)}.
   Deuxième loi de Newton (poids négligé) : \( m \cdot \vec{a} = q \cdot \vec{E} \implies \vec{a} = \frac{2e}{m} \vec{E} \).
   Projection (\( \vec{E} \) est selon Oy positif) :
   \( a_x = 0 \)
   \( a_y = \frac{2e \cdot E}{m} \)
   

2. Vitesse :
   Par intégration avec \( \vec{v}_0 \) selon (Ox) :
   \( v_x(t) = v_0 \)
   \( v_y(t) = \frac{2e \cdot E}{m} \cdot t \)
   

3. Position :
   Par intégration avec l'origine \( O(0,0) \) à \( t=0 \) :
   \( x(t) = v_0 \cdot t \)
   \( y(t) = \frac{1}{2} \frac{2e \cdot E}{m} \cdot t^2 = \frac{e \cdot E}{m} \cdot t^2 \)

Erreurs fréquentes

• Oublier la masse dans le bilan dynamique : La force électrique vaut \( q\vec{E} \), mais l'accélération dépend de la masse : \( \vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E} \). Deux particules de même charge mais de masses différentes auront des trajectoires différentes.
• Se tromper de signe lors des projections : Il faut toujours comparer l'orientation des vecteurs (\( \vec{g} \) ou \( \vec{E} \)) par rapport aux axes du repère choisi pour déterminer les signes des composantes.
• Ignorer le signe de la charge électrique : Pour un électron (\( q = -e \)), la force électrique s'oppose au sens du champ électrique. Ne pas le prendre en compte fausse la direction de l'accélération.