Mesures et incertitudes
1. Variabilité de la mesure d'une grandeur physique⚓︎
Lorsqu'on mesure une grandeur physique, la valeur obtenue n'est jamais exacte. Si l'on répète la même mesure dans les mêmes conditions, on obtient souvent des résultats légèrement différents. Cette variabilité est due à plusieurs facteurs : - L'instrument de mesure (précision, étalonnage). - Le protocole expérimental (méthode de mesure, conditions environnementales). - L'opérateur (lecture sur un cadran, temps de réaction).
Pour analyser une série de \( n \) mesures indépendantes d'une grandeur \( x \), on utilise des outils statistiques.
Moyenne et Ă©cart-type
La moyenne \( \bar{x} \) de la série de mesures donne la meilleure estimation de la valeur mesurée :
L'écart-type \( s_{n-1} \) (ou \( \sigma_{n-1} \)) évalue la dispersion des mesures autour de la moyenne. Plus l'écart-type est grand, plus les mesures sont dispersées.
Remarque : Les tableurs ou langages de programmation comme Python (avec la bibliothèque matplotlib) permettent de représenter facilement la distribution de ces mesures sous forme d'un histogramme.
Calcul de moyenne et dispersion
Un élève mesure 5 fois la période \( T \) d'un pendule et obtient les valeurs suivantes (en s) :
2,01 ; 1,98 ; 2,03 ; 2,00 ; 1,99.
Évaluer la moyenne et discuter qualitativement de la dispersion si un autre élève obtient les valeurs :
1,90 ; 2,10 ; 1,95 ; 2,08 ; 2,02.
Corrigé
Pour le premier élève : \( \bar{T} = \frac{2,01 + 1,98 + 2,03 + 2,00 + 1,99}{5} = 2,00 \text{ s} \).
Les valeurs du premier élève sont très resserrées autour de 2,00 s (faible dispersion).
Les valeurs du second élève ont également une moyenne proche de 2,01 s, mais l'écart entre les valeurs extrêmes (1,90 s et 2,10 s) est beaucoup plus grand : sa série présente une plus forte dispersion.
2. Incertitude-type et évaluations (Type A et Type B)⚓︎
L'incertitude-type est une grandeur qui permet de quantifier la marge d'erreur associée à un résultat de mesure.
Incertitude-type
L'incertitude-type, notée \( u(x) \) (de l'anglais uncertainty), est un paramètre associé au résultat d'une mesure, qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées à la grandeur mesurée.
Il existe deux manières principales d'évaluer cette incertitude :
a. Évaluation de type A (approche statistique)⚓︎
L'évaluation de type A est utilisée lorsqu'on dispose d'une série de \( n \) mesures indépendantes.
L'incertitude-type de type A sur la moyenne est donnée par :
Plus le nombre de mesures \( n \) est grand, plus l'incertitude-type diminue.
Évaluation de type A
Pour les 5 mesures du pendule du premier élève (\( \bar{T} = 2,002 \text{ s} \)), la calculatrice donne un écart-type \( s_{n-1} = 0,019 \text{ s} \).
Calculer l'incertitude-type.
Corrigé
b. Évaluation de type B (autre que statistique)⚓︎
L'évaluation de type B est utilisée lors d'une mesure unique (ou lorsque l'approche statistique n'est pas possible). Elle s'appuie sur la notice du constructeur de l'appareil, sur la résolution de l'instrument (demi-graduation), ou sur l'expérience de l'opérateur. Les formules pour calculer \( u(B) \) sont toujours fournies (ex: \( u(B) = \frac{\text{résolution}}{\sqrt{12}} \) pour une lecture digitale).
Évaluation de type B
On mesure une masse de \( 12,4 \text{ g} \) avec une balance dont la notice indique une tolérance \( t = 0,1 \text{ g} \). La formule de l'incertitude-type fournie est \( u(m) = \frac{t}{\sqrt{3}} \). Calculer \( u(m) \).
Corrigé
3. Incertitudes-types composées⚓︎
Souvent, une grandeur n'est pas mesurée directement, mais calculée à partir d'autres grandeurs mesurées (par exemple, calculer une vitesse à partir d'une distance et d'un temps). Les incertitudes de chaque grandeur mesurée se propagent au résultat final.
Incertitude-type composée
L'incertitude-type sur la grandeur calculée dépend des incertitudes-types des grandeurs mesurées. La formule liant l'incertitude composée aux différentes incertitudes est toujours fournie.
Remarque : Il est possible de simuler un processus aléatoire (méthode de Monte-Carlo) à l'aide d'un langage de programmation comme Python pour estimer numériquement cette incertitude composée, en tirant aléatoirement des valeurs dans les intervalles d'incertitude de chaque variable.
Calcul d'une incertitude composée
La concentration d'une solution est \( C = \frac{n}{V} \).
La formule de l'incertitude-type composée est \( u(C) = C \times \sqrt{\left(\frac{u(n)}{n}\right)^2 + \left(\frac{u(V)}{V}\right)^2} \).
On donne \( C = 0,100 \text{ mol.L}^{-1} \), \( n = 0,010 \text{ mol} \) avec \( u(n) = 0,001 \text{ mol} \), et \( V = 0,100 \text{ L} \) avec \( u(V) = 0,002 \text{ L} \).
Calculer \( u(C) \).
Corrigé
4. Écriture du résultat et comparaison à une valeur de référence⚓︎
a. Écriture correcte du résultat⚓︎
Le résultat final d'une mesure \( m \) doit s'écrire sous la forme :
avec son unité.
Règles des chiffres significatifs :
- L'incertitude-type \( u(m) \) est généralement arrondie à un seul chiffre significatif (par excès pour ne pas sous-estimer l'erreur).
- La valeur mesurée \( m_{mes} \) doit être arrondie pour que son dernier chiffre significatif soit à la même position décimale que celui de l'incertitude.
b. Validation d'un résultat⚓︎
Pour vérifier si le résultat expérimental \( m_{mes} \) est en accord avec une valeur de référence théorique ou tabulée \( m_{ref} \), on utilise le quotient :
Critère d'acceptabilité
- Si \( \frac{|m_{mes} - m_{ref}|}{u(m)} \le 2 \), on considère que la mesure est en accord avec la valeur de référence (compatibilité à 95%).
- Si \( \frac{|m_{mes} - m_{ref}|}{u(m)} > 2 \), la mesure est probablement incompatible (erreur systématique, protocole inadapté, etc.).
Validation de la mesure
On a mesuré l'intensité de la pesanteur \( g_{mes} = 9,6 \text{ m.s}^{-2} \) avec une incertitude \( u(g) = 0,2 \text{ m.s}^{-2} \).
La valeur de référence est \( g_{ref} = 9,81 \text{ m.s}^{-2} \).
La mesure est-elle compatible ?
Corrigé
On calcule le quotient :
Puisque \( 1,05 \le 2 \), la mesure est tout à fait compatible avec la valeur de référence.
Exercices d'application⚓︎
Exercice 1 : Écriture du résultat
Une vitesse mesurée vaut \( v = 12,345 \text{ m.s}^{-1} \).
L'incertitude-type calculée est \( u(v) = 0,17 \text{ m.s}^{-1} \).
Écrire correctement le résultat de la mesure.
Corrigé
- On arrondit l'incertitude à un chiffre significatif (par excès) : \( u(v) \approx 0,2 \text{ m.s}^{-1} \).
- On ajuste la valeur de la vitesse à la même précision (le dixième) : \( v \approx 12,3 \text{ m.s}^{-1} \). Résultat final : \( v = (12,3 \pm 0,2) \text{ m.s}^{-1} \).
Exercice 2 : Comparaison et validité
Un groupe d'élèves dose l'acidité d'un vinaigre et trouve une concentration en acide acétique \( C_{mes} = 1,32 \text{ mol.L}^{-1} \) avec \( u(C) = 0,08 \text{ mol.L}^{-1} \).
L'étiquette de la bouteille indique un degré d'acidité qui correspond à une concentration de référence \( C_{ref} = 1,50 \text{ mol.L}^{-1} \).
Le dosage expérimental valide-t-il l'étiquette ?
Corrigé
On Ă©value le quotient :
Comme \( 2,25 > 2 \), la mesure n'est pas en accord avec la valeur de référence. Il y a probablement eu des erreurs de manipulation lors du dosage ou le vinaigre a pu s'altérer.
Erreurs fréquentes
- Confondre écart-type et incertitude-type : l'écart-type qualifie la dispersion d'une série entière, tandis que l'incertitude-type de type A sur la moyenne prend en compte le nombre de mesures (\( \sqrt{n} \) au dénominateur).
- Garder trop de chiffres significatifs sur l'incertitude : une incertitude est une estimation, elle ne s'écrit généralement qu'avec un seul chiffre significatif.
- Oublier d'accorder les décimales : la valeur mesurée ne peut pas être affichée avec plus de précision que son incertitude. Écrire \( m = 12,345 \pm 0,1 \) est faux.