Le premier principe de la thermodynamique⚓︎

Pour étudier les échanges d'énergie, on définit un système thermodynamique (la portion de l'univers étudiée) et le milieu extérieur (le reste de l'univers). Les échanges d'énergie se font à travers la frontière séparant le système du milieu extérieur.

1. Énergie interne et premier principe⚓︎

L'énergie totale d'un système est la somme de son énergie mécanique (liée à son mouvement et sa position à l'échelle macroscopique) et de son énergie interne.

L'énergie interne

L'énergie interne, notée \( U \), exprimée en joule (J), est l'énergie propre du système à l'échelle microscopique.
Elle correspond à la somme des énergies cinétiques microscopiques (agitation thermique) et des énergies potentielles microscopiques (interactions entre les entités) de toutes les particules constituant le système.

La variation de l'énergie d'un système se fait par des transferts d'énergie avec le milieu extérieur. Ces transferts peuvent s'effectuer sous forme de travail (macroscopique) ou de transfert thermique (microscopique).

Le premier principe de la thermodynamique

Pour un système fermé (qui n'échange pas de matière avec l'extérieur) et au repos à l'échelle macroscopique (son énergie mécanique est constante), la variation d'énergie interne \( \Delta U \) au cours d'une transformation est égale à la somme algébrique du travail \( W \) et du transfert thermique \( Q \) échangés avec le milieu extérieur :

\( \Delta U = W + Q \)

Avec :

\( \Delta U \) : variation d'énergie interne en joule (J)
\( W \) : travail échangé en joule (J)
\( Q \) : transfert thermique échangé en joule (J)

Convention de signe

Les énergies \( W \) et \( Q \) sont comptées algébriquement par rapport au système :

Si le système reçoit de l'énergie, elle est comptée positivement (\( > 0 \)).
Si le système cède de l'énergie, elle est comptée négativement (\( < 0 \)).

Application du premier principe

Un gaz enfermé dans un cylindre est chauffé. Il reçoit un transfert thermique de \( 500 \, \text{J} \) de la part d'une flamme. En se dilatant, il repousse un piston et fournit un travail mécanique de \( 150 \, \text{J} \) au milieu extérieur.

Calculer la variation d'énergie interne du gaz.

Corrigé

Le gaz reçoit un transfert thermique : \( Q = + 500 \, \text{J} \).
Le gaz cède un travail au milieu extérieur : \( W = - 150 \, \text{J} \).

D'après le premier principe :
\( \Delta U = W + Q = - 150 + 500 = + 350 \, \text{J} \)

L'énergie interne du gaz a augmenté de 350 J.

2. Capacité thermique d'un système incompressible⚓︎

Un système incompressible est un système dont le volume ne varie pas (ou de façon négligeable) lors d'une transformation. C'est le cas des solides et des liquides.
Pour ces systèmes, le travail des forces de pression est nul (\( W = 0 \)), donc le premier principe se réduit à \( \Delta U = Q \).

Variation d'énergie interne d'une phase condensée

Pour un système incompressible de masse \( m \), la variation d'énergie interne lors d'une variation de température de \( T_{initiale} \) à \( T_{finale} \) est donnée par :

\( \Delta U = m \cdot c \cdot (T_{finale} - T_{initiale}) = m \cdot c \cdot \Delta T \)

Avec :

\( \Delta U \) : variation d'énergie interne en joule (J)
\( m \) : masse du système en kilogramme (kg)
\( c \) : capacité thermique massique en \( \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \) (ou en \( \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{°C}^{-1} \))
\( \Delta T \) : variation de température en kelvin (K) ou en degré Celsius (°C)

Remarque : On peut aussi utiliser la capacité thermique globale du système \( C = m \cdot c \), exprimée en \( \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \). La relation s'écrit alors \( \Delta U = C \cdot \Delta T \).

Calcul d'une variation d'énergie interne

Un bloc de cuivre de masse \( m = 2,0 \, \text{kg} \) passe de la température \( \theta_1 = 20 \, \text{°C} \) à \( \theta_2 = 80 \, \text{°C} \).
Donnée : Capacité thermique massique du cuivre \( c = 385 \, \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{°C}^{-1} \).

Calculer la variation d'énergie interne du bloc.

Corrigé

Le cuivre est un solide, donc un système incompressible.
\( \Delta U = m \cdot c \cdot (\theta_2 - \theta_1) \)
\( \Delta U = 2,0 \times 385 \times (80 - 20) \)
\( \Delta U = 2,0 \times 385 \times 60 = 46 \, 200 \, \text{J} = 4,6 \times 10^4 \, \text{J} \)

3. Les modes de transferts thermiques⚓︎

Il existe trois modes fondamentaux de transfert thermique (chaleur) :

La conduction : Transfert d'énergie de proche en proche, sans déplacement de matière. C'est le mode principal dans les solides.
La convection : Transfert d'énergie avec déplacement macroscopique de matière. C'est un mode de transfert propre aux fluides (liquides et gaz).
Le rayonnement : Transfert d'énergie par absorption ou émission d'ondes électromagnétiques. Il peut se faire dans le vide.

Identifier les transferts thermiques

Identifier le ou les modes de transferts thermiques dominants dans les situations suivantes :

Le Soleil chauffe la Terre.
Le manche en métal d'une casserole devient chaud.
L'air chaud s'élève au-dessus d'un radiateur.

Corrigé

Rayonnement (les ondes électromagnétiques traversent le vide spatial).
Conduction (transfert au sein du solide de proche en proche).
Convection (mouvement global du fluide chauffé).

4. Flux thermique et résistance thermique⚓︎

Un transfert thermique s'effectue toujours spontanément du corps le plus chaud vers le corps le plus froid. La rapidité de ce transfert est caractérisée par le flux thermique.

Flux thermique

Le flux thermique, noté \( \Phi \) (lettre grecque Phi), correspond à la puissance thermique, c'est-à-dire l'énergie thermique transférée par unité de temps :

\( \Phi = \frac{Q}{\Delta t} \)

Avec :

\( \Phi \) : flux thermique en watt (W)
\( Q \) : transfert thermique en joule (J)
\( \Delta t \) : durée du transfert en seconde (s)

Pour un transfert thermique à travers une paroi (un mur, une vitre), le flux dépend de l'écart de température de part et d'autre et de la capacité de la paroi à s'opposer au passage de la chaleur : la résistance thermique.

Résistance thermique

La relation entre le flux thermique traversant une paroi et la différence de température entre ses deux faces est :

\( \Phi = \frac{T_{chaud} - T_{froid}}{R_{th}} = \frac{\Delta T}{R_{th}} \)

Avec :

\( \Phi \) : flux thermique en watt (W)
\( \Delta T \) : différence de température (en K ou °C)
\( R_{th} \) : résistance thermique de la paroi en \( \text{K} \cdot \text{W}^{-1} \) (ou \( \text{°C} \cdot \text{W}^{-1} \))

Calcul de flux et d'énergie

Un mur de résistance thermique \( R_{th} = 0,50 \, \text{K} \cdot \text{W}^{-1} \) sépare l'intérieur d'une maison à \( 20 \, \text{°C} \) de l'extérieur à \( 5 \, \text{°C} \).

Calculer le flux thermique \( \Phi \) à travers ce mur.
En déduire l'énergie thermique \( Q \) perdue en une heure par ce mur.

Corrigé

Le flux va de l'intérieur vers l'extérieur.
\( \Phi = \frac{20 - 5}{0,50} = \frac{15}{0,50} = 30 \, \text{W} \)
On a \( \Phi = \frac{Q}{\Delta t} \) donc \( Q = \Phi \cdot \Delta t \).
Pour 1 heure, \( \Delta t = 3600 \, \text{s} \).
\( Q = 30 \times 3600 = 1,08 \times 10^5 \, \text{J} \)

5. Bilan d'énergie et loi de Newton⚓︎

Lorsqu'un système incompressible se refroidit (ou se réchauffe) au contact de l'air ambiant, on peut modéliser l'évolution de sa température en fonction du temps à l'aide de la loi de refroidissement de Newton.

Loi de refroidissement de Newton

La loi de Newton stipule que le flux thermique cédé ou reçu par un système de surface \( S \) au contact d'un fluide extérieur à la température \( T_{ext} \) est proportionnel à la différence de température entre le système \( T \) et l'extérieur \( T_{ext} \) :

\( \Phi = h \cdot S \cdot (T_{ext} - T) \)

Avec :

\( h \) : coefficient de transfert thermique en \( \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{K}^{-1} \)
\( S \) : surface d'échange en \( \text{m}^2 \)
\( T \) et \( T_{ext} \) : températures en K ou °C

Équation différentielle de la température : En combinant le premier principe et la loi de Newton pour un système incompressible (sans travail utile), on effectue le bilan énergétique pendant une courte durée \( dt \) :

La variation d'énergie interne s'écrit \( dU = m \cdot c \cdot dT \).
Le transfert thermique reçu est \( \delta Q = \Phi \cdot dt = h \cdot S \cdot (T_{ext} - T) \cdot dt \).

Puisque \( dU = \delta Q \), on a :
\( m \cdot c \cdot \frac{dT}{dt} = h \cdot S \cdot (T_{ext} - T) \)

Ce qui se remet sous la forme de l'équation différentielle du premier ordre :
\( \frac{dT}{dt} + \frac{h \cdot S}{m \cdot c} T = \frac{h \cdot S}{m \cdot c} T_{ext} \)

On pose souvent le temps caractéristique \( \tau = \frac{m \cdot c}{h \cdot S} \) (en secondes).
L'équation devient : \( \frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau} T = \frac{T_{ext}}{\tau} \)

Résolution graphique et équation

L'évolution de la température d'une tasse de café de masse \( m \) obéit à l'équation différentielle : \( \frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau} \cdot T = \frac{T_{ext}}{\tau} \).

Quelle sera la température de la tasse au bout d'un temps infini ? Justifier à partir de l'équation différentielle.

Corrigé

Lorsque la température se stabilise au bout d'un temps infini, sa dérivée par rapport au temps devient nulle : \( \frac{dT}{dt} = 0 \).
L'équation différentielle devient : \( 0 + \frac{1}{\tau} \cdot T(\infty) = \frac{T_{ext}}{\tau} \).
On obtient donc \( T(\infty) = T_{ext} \). La température du système s'équilibre avec celle du milieu extérieur.

6. Modélisation de l'évolution de la température d'un système au contact d'un thermostat⚓︎

Pour étudier le refroidissement ou le réchauffement d'un système, on le place souvent au contact d'un milieu extérieur dont la température ne varie pas : c'est ce qu'on appelle un thermostat.

Thermostat

Un thermostat (ou source idéale de chaleur) est un système extérieur dont la capacité thermique est si grande que sa température, notée \( T_{ext} \), reste constante, quel que soit le transfert thermique qu'il échange avec le système étudié.

Établissement de l'équation différentielle⚓︎

Considérons un système incompressible de masse \( m \), de capacité thermique massique \( c \) et de surface d'échange \( S \). Il est placé dans un thermostat à la température constante \( T_{ext} \).

Bilan d'énergie : Pendant une durée infinitésimale \( dt \), le système échange un transfert thermique \( \delta Q = \Phi \cdot dt \). Le travail étant nul (\( W = 0 \)), la variation d'énergie interne est \( dU = \delta Q \).
Expression de \( dU \) : Pour un système incompressible, \( dU = m \cdot c \cdot dT \).
Loi de Newton : Le flux thermique reçu par le système s'écrit \( \Phi = h \cdot S \cdot (T_{ext} - T) \).

En égalant les deux expressions du transfert thermique, on obtient :
\( m \cdot c \cdot dT = h \cdot S \cdot (T_{ext} - T) \cdot dt \)

En divisant par \( dt \) et par \( m \cdot c \), on isole la dérivée de la température :
\( \frac{dT}{dt} = \frac{h \cdot S}{m \cdot c} \cdot (T_{ext} - T) \)
\( \frac{dT}{dt} + \frac{h \cdot S}{m \cdot c} \cdot T = \frac{h \cdot S}{m \cdot c} \cdot T_{ext} \)

Temps caractéristique

En posant le temps caractéristique \( \tau = \frac{m \cdot c}{h \cdot S} \) (exprimé en secondes), l'équation différentielle s'écrit sous sa forme canonique :
\( \frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau} \cdot T = \frac{T_{ext}}{\tau} \)

La solution de cette équation différentielle est de la forme :
\( T(t) = (T_{initiale} - T_{ext}) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + T_{ext} \)

Vérification de la solution

Montrer que la fonction \( T(t) = (T_i - T_{ext}) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + T_{ext} \) est bien solution de l'équation différentielle \( \frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau} \cdot T = \frac{T_{ext}}{\tau} \).

Corrigé

On dérive la fonction \( T(t) \) par rapport au temps :
\( \frac{dT}{dt} = (T_i - T_{ext}) \cdot \left( -\frac{1}{\tau} \right) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \)

On remplace \( T \) et \( \frac{dT}{dt} \) dans le membre de gauche de l'équation différentielle :
\( \frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau} \cdot T = -\frac{1}{\tau} \cdot (T_i - T_{ext}) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + \frac{1}{\tau} \cdot \biggl[ (T_i - T_{ext}) \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + T_{ext} \biggr] \)

En développant, les termes en exponentielle s'annulent et on obtient bien :
\( \frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau} \cdot T = \frac{1}{\tau} \cdot T_{ext} \)
L'équation est bien vérifiée.

7. Bilan thermique du système Terre-atmosphère et effet de serre⚓︎

La thermodynamique permet également de comprendre la température moyenne à la surface de la Terre en étudiant les échanges d'énergie par rayonnement.

a) Le bilan radiatif terrestre⚓︎

La Terre reçoit continuellement de l'énergie de la part du Soleil par rayonnement électromagnétique. Une partie de cette énergie est absorbée, l'autre est réfléchie.

Albédo

L'albédo terrestre, noté \( A \) ou \( \alpha \), est la fraction de la puissance du rayonnement solaire incident qui est réfléchie ou diffusée vers l'espace. C'est une grandeur sans dimension comprise entre 0 et 1 (environ 0,30 pour la Terre).

\( P_{absorbée} = P_{incidente} \cdot (1 - A) \)

Pour que la température moyenne de la Terre reste stable, il faut qu'elle soit en équilibre thermique. Cela signifie que la puissance totale absorbée par le système Terre-atmosphère doit être égale à la puissance totale émise vers l'espace (sous forme de rayonnement infrarouge).

b) L'effet de serre⚓︎

Si la Terre n'avait pas d'atmosphère, sa température d'équilibre serait d'environ \( -18 \, \text{°C} \). La présence de certains gaz dans l'atmosphère (vapeur d'eau, dioxyde de carbone \( \text{CO}_2 \), méthane \( \text{CH}_4 \)) modifie ce bilan.

Effet de serre

La surface de la Terre, chauffée par le Soleil, émet un rayonnement thermique dans le domaine des infrarouges (IR).
L'atmosphère est transparente à la lumière visible (venant du Soleil) mais absorbe une grande partie des rayonnements infrarouges émis par la Terre grâce aux gaz à effet de serre.
L'atmosphère réémet alors un rayonnement infrarouge dans toutes les directions, et notamment vers la surface terrestre, ce qui contribue à la réchauffer davantage.

C'est cet apport supplémentaire d'énergie par l'atmosphère qui permet à la surface terrestre d'atteindre une température moyenne d'équilibre d'environ \( +15 \, \text{°C} \).

Exercices d'application⚓︎

Exercice 1 : Chauffage d'une piscine

Une piscine contient un volume \( V = 40 \, \text{m}^3 \) d'eau. On souhaite élever la température de l'eau de \( 15 \, \text{°C} \) à \( 28 \, \text{°C} \).
Données : masse volumique de l'eau \( \rho = 1000 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3} \) ; \( c_{eau} = 4180 \, \text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{°C}^{-1} \).

L'eau est-elle un système compressible ou incompressible ? Que vaut le travail des forces de pression ?
Calculer la variation d'énergie interne de l'eau de la piscine.
Si le système de chauffage a une puissance \( P = 12 \, \text{kW} \) et qu'il n'y a aucune perte, combien de temps durera le chauffage ?

Corrigé

L'eau est un liquide, donc un système incompressible. Le volume ne variant pas, le travail macroscopique des forces de pression est nul (\( W = 0 \)).
La masse d'eau est \( m = \rho \cdot V = 1000 \times 40 = 4,0 \times 10^4 \, \text{kg} \).
\( \Delta U = m \cdot c_{eau} \cdot (T_f - T_i) \)
\( \Delta U = 4,0 \times 10^4 \times 4180 \times (28 - 15) \approx 2,17 \times 10^9 \, \text{J} \)
La puissance correspond au flux thermique fourni : \( \Phi = P \).
On sait que \( \Phi = \frac{Q}{\Delta t} \) et avec \( W = 0 \), on a \( Q = \Delta U \).
Donc \( \Delta t = \frac{\Delta U}{P} = \frac{2,17 \times 10^9}{12 \times 10^3} \approx 1,8 \times 10^5 \, \text{s} \).
Soit environ 50 heures.

Exercice 2 : Équilibre du système Terre-atmosphère

La puissance solaire moyenne arrivant au sommet de l'atmosphère sur un mètre carré est de \( 340 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \). L'albédo moyen de la Terre est \( A = 0,30 \).

Calculer la puissance surfacique solaire absorbée par le système Terre-atmosphère.
À l'équilibre thermique, quelle doit être la valeur de la puissance surfacique émise par la Terre vers l'espace ?

Corrigé

La puissance absorbée tient compte de l'albédo (la part non réfléchie) :
\( P_{abs} = P_{incidente} \cdot (1 - A) \)
\( P_{abs} = 340 \times (1 - 0,30) = 340 \times 0,70 = 238 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \).
À l'équilibre thermique, le système ne se réchauffe ni ne se refroidit, donc l'énergie reçue est égale à l'énergie perdue.
La puissance émise vers l'espace sous forme de rayonnement infrarouge doit donc être strictement égale à la puissance solaire absorbée, soit \( 238 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \).

Erreurs fréquentes

Oubli des signes pour le premier principe : Bien vérifier si l'énergie est reçue (positive) ou cédée (négative) par le système étudié. Un transfert de l'extérieur vers le système a un signe positif pour le système.
Confusion entre capacité thermique massique (\( c \)) et capacité thermique globale (\( C \)) : L'une s'exprime par kilogramme, l'autre pour l'objet entier. Attention aux unités fournies dans l'énoncé.
Conversion des températures : Une différence de température (\( \Delta T \)) a la même valeur numérique en Kelvin (K) qu'en degré Celsius (°C). Il est donc souvent inutile de convertir \( T_{finale} \) et \( T_{initiale} \) en Kelvin pour calculer \( \Delta T \).
Inversion entre flux et transfert d'énergie : Le flux thermique \( \Phi \) est une puissance (des Joules par seconde, donc des Watts). Le transfert thermique \( Q \) est une quantité d'énergie (en Joules).