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Décrire un système thermodynamique : exemple du modèle du gaz parfait⚓︎

Un système thermodynamique est une portion de l'espace, délimitée par une surface réelle ou fictive, étudiée du point de vue de ses échanges d'énergie avec le milieu extérieur. Un gaz enfermé dans une enceinte en est un exemple classique.

1. Échelles microscopique et macroscopique⚓︎

Pour décrire un système thermodynamique, il est nécessaire de définir des grandeurs mesurables à notre échelle : ce sont les grandeurs macroscopiques. Ces grandeurs sont la conséquence directe du comportement des entités à l'échelle microscopique.

Variables d'état

Les variables d'état sont des grandeurs macroscopiques qui permettent de décrire l'état d'un système thermodynamique à l'équilibre.

Pour un gaz, les principales variables d'état sont :

  • La pression \( P \) (en pascal, Pa)
  • La température thermodynamique \( T \) (en kelvin, K)
  • Le volume \( V \) (en mètre cube, \( \text{m}^3 \))
  • La masse volumique \( \rho \) (en kilogramme par mètre cube, \( \text{kg} \cdot \text{m}^{-3} \))
  • La quantité de matière \( n \) (en mole, mol)

Il est indispensable de savoir relier qualitativement ces grandeurs macroscopiques au comportement microscopique des molécules ou atomes du gaz :

  • La température thermodynamique (\(T\)) : Elle est liée à l'énergie cinétique microscopique moyenne des entités. Plus l'agitation thermique (la vitesse des particules) est grande, plus la température est élevée.
  • La pression (\(P\)) : Elle résulte des chocs incessants des entités du gaz sur les parois du récipient. Plus les chocs sont fréquents et violents, plus la pression est élevée.
  • La masse volumique (\(\rho\)) : Elle représente la masse du gaz par unité de volume et rend compte de la "densité" d'entités présentes dans un espace donné.

La température thermodynamique

La température thermodynamique \( T \) s'exprime en kelvin (K). Elle est reliée à la température usuelle \( \theta \) en degré Celsius (°C) par la relation : \( T = \theta + 273,15 \)

Lien micro-macro

On chauffe un gaz enfermé dans une boîte indéformable (volume constant).

  1. Comment évolue l'agitation thermique des molécules de gaz ?
  2. En déduire qualitativement l'évolution de la pression à l'intérieur de la boîte.
Corrigé
  1. Le gaz étant chauffé, sa température augmente, ce qui traduit une augmentation de l'agitation thermique à l'échelle microscopique : la vitesse moyenne des particules augmente.
  2. Si la vitesse des particules augmente et que le volume reste constant, les chocs sur les parois de la boîte vont être plus fréquents et plus violents. À l'échelle macroscopique, cela se traduit par une augmentation de la pression.

2. Le modèle du gaz parfait⚓︎

Dans la réalité, les interactions entre les particules d'un gaz peuvent être complexes. Pour simplifier l'étude, les physiciens utilisent le modèle du gaz parfait.

Modèle du gaz parfait

Le modèle du gaz parfait repose sur deux hypothèses simplificatrices à l'échelle microscopique :

  1. Les entités (atomes ou molécules) sont considérées comme ponctuelles (leur volume propre est négligeable devant le volume de l'enceinte).
  2. Il n'y a aucune interaction entre les entités, en dehors de leurs chocs parfaitement élastiques (interactions à distance négligées).

Pour ce modèle, les variables d'état sont reliées par une équation mathématique fondamentale.

Équation d'état du gaz parfait

L'équation d'état d'un gaz parfait relie la pression, le volume, la quantité de matière et la température du gaz :

\( P \cdot V = n \cdot R \cdot T \)

Avec :

  • \( P \) : Pression du gaz en pascal (Pa)
  • \( V \) : Volume du gaz en mètre cube (\( \text{m}^3 \))
  • \( n \) : Quantité de matière en mole (mol)
  • \( R \) : Constante des gaz parfaits, \( R = 8,314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \)
  • \( T \) : Température thermodynamique en kelvin (K)

Application de l'équation d'état

Un ballon de baudruche contient \( 0,20 \, \text{mol} \) d'hélium à une température de \( 20 \, \text{°C} \) et sous une pression de \( 1,01 \times 10^5 \, \text{Pa} \).

Calculer le volume \( V \) occupé par ce gaz, en l'assimilant à un gaz parfait.

Corrigé

On isole le volume dans l'équation du gaz parfait :
\( V = \frac{n \cdot R \cdot T}{P} \)
Il faut convertir la température en kelvin :
\( T = 20 + 273,15 = 293,15 \, \text{K} \).

Application numérique :
\( V = \frac{0,20 \times 8,314 \times 293,15}{1,01 \times 10^5} \)
\( V \approx 4,8 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \)
Ce qui correspond à un volume de 4,8 L.

Calcul d'une masse volumique

Déterminer la masse volumique de l'air assimilé à un gaz parfait à \( \theta = 25 \, \text{°C} \) sous une pression de \( 1013 \, \text{hPa} \).
On donne la masse molaire moyenne de l'air : \( M(\text{air}) = 29,0 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1} \).

Corrigé

La masse volumique est définie par \( \rho = \frac{m}{V} \).
Or, \( m = n \cdot M \), donc \( \rho = \frac{n \cdot M}{V} \).
D'après l'équation du gaz parfait, \( \frac{n}{V} = \frac{P}{R \cdot T} \).
On en déduit que :
\( \rho = \frac{P \cdot M}{R \cdot T} \)

Conversions nécessaires :
- \( P = 1013 \, \text{hPa} = 1013 \times 10^2 \, \text{Pa} \)
- \( T = 25 + 273,15 = 298,15 \, \text{K} \)
- \( M = 29,0 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1} = 29,0 \times 10^{-3} \, \text{kg} \cdot \text{mol}^{-1} \) (la masse molaire doit être en kg/mol pour obtenir des kg/m³)

\( \rho = \frac{1013 \times 10^2 \times 29,0 \times 10^{-3}}{8,314 \times 298,15} \approx 1,18 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3} \)

3. Limites du modèle du gaz parfait⚓︎

Le modèle du gaz parfait est une excellente approximation pour la plupart des gaz réels dans les conditions habituelles de notre environnement. Cependant, ce modèle possède des limites et devient insuffisant dans certaines conditions extrêmes.

Limites de validité

Le modèle du gaz parfait n'est plus valable si :

  • La pression est très élevée : Les molécules sont forcées de se rapprocher. Leur volume propre n'est plus négligeable devant le volume total, et les chocs ne sont plus les seules interactions.
  • La température est très basse : L'agitation thermique diminue fortement. Les interactions attractives à distance (comme les liaisons de Van der Waals) entre les entités prennent le dessus, menant éventuellement à la liquéfaction du gaz.

Exercices d'application⚓︎

Exercice 1 : Compression d'un gaz

Une seringue bouchée contient un volume \( V_1 = 20 \, \text{mL} \) d'air à la pression atmosphérique \( P_1 = 1,0 \times 10^5 \, \text{Pa} \). On appuie sur le piston pour réduire le volume à \( V_2 = 10 \, \text{mL} \) sans faire varier la température.

  1. À l'échelle microscopique, justifier l'évolution de la pression.
  2. Exprimer \( P_2 \) en fonction de \( P_1 \), \( V_1 \) et \( V_2 \), puis la calculer.
Corrigé
  1. Le volume diminue mais le nombre de particules reste constant, la densité de particules augmente. De plus, la température est constante donc leur vitesse moyenne est inchangée. Les particules vont donc frapper les parois beaucoup plus fréquemment. La pression augmente.
  2. D'après l'équation d'état, \( P_1 \cdot V_1 = n \cdot R \cdot T \) et \( P_2 \cdot V_2 = n \cdot R \cdot T \).
    La quantité de matière et la température étant constantes, on a \( P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2 \).
    Donc \( P_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{V_2} \).
    \( P_2 = \frac{1,0 \times 10^5 \times 20 \times 10^{-6}}{10 \times 10^{-6}} = 2,0 \times 10^5 \, \text{Pa} \).

Exercice 2 : La plongée sous-marine

Une bouteille de plongée de volume \( V = 12 \, \text{L} \) contient de l'air sous une pression de \( 200 \, \text{bar} \) à une température de \( 15 \, \text{°C} \).

  1. Est-il pertinent de modéliser l'air à l'intérieur de la bouteille par un gaz parfait ?
  2. En supposant le modèle tout de même applicable, calculer la quantité de matière d'air \( n \) contenue dans la bouteille. (Donnée : \( 1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa} \))
Corrigé
  1. La pression à l'intérieur de la bouteille (\( 200 \, \text{bar} \)) est très élevée. À cette pression, la densité de molécules est telle que les volumes propres des molécules et leurs interactions ne sont plus négligeables. Le modèle du gaz parfait montre ici ses limites.
  2. On convertit d'abord les grandeurs dans les unités du système international :
  3. \( P = 200 \, \text{bar} = 200 \times 10^5 \, \text{Pa} \)
  4. \( V = 12 \, \text{L} = 12 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \)
  5. \( T = 15 + 273,15 = 288,15 \, \text{K} \)

D'après l'équation d'état : \( n = \frac{P \cdot V}{R \cdot T} \)
\( n = \frac{200 \times 10^5 \times 12 \times 10^{-3}}{8,314 \times 288,15} \approx 1,0 \times 10^2 \, \text{mol} \)

Erreurs fréquentes
  • Oubli des conversions dans l'équation d'état : C'est l'erreur la plus classique. Pour utiliser \( P \cdot V = n \cdot R \cdot T \), il faut impérativement la pression \( P \) en pascal (Pa), le volume \( V \) en mètres cubes (\( \text{m}^3 \)) et la température \( T \) en kelvin (K).
  • Confondre masse volumique et volume molaire : La masse volumique s'exprime en \( \text{kg} \cdot \text{m}^{-3} \) ou \( \text{g} \cdot \text{L}^{-1} \) et dépend de la masse du gaz, alors que le volume molaire (souvent utilisé en première) s'exprime en \( \text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \) et ne dépend que de \( P \) et \( T \).
  • Penser que la température augmente avec les chocs : La température macroscopique est liée à la vitesse (agitation thermique) des entités à l'échelle microscopique, tandis que la pression est liée à la fréquence et la violence des chocs sur les parois.